Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ

Найдем производную и точки, в которых она равна 0 или не существует, разобьем ими область определения функции на отрезки и определим знаки производной на них. Переход знака производной с отрицательного значения в положительное будет точкой минимума \( \large y=(x-5)e^{x+2} \: \)

\(y'=\left(\left(x-5\right)e^{x+2}\right)'= \: \)

\(e^{x+2}+(x-5)e^{x+2}=(x-4)e^{x+2} \: \)

y'=0 при x=4. При х<4 производная отрицательная, при x>4 производная положительная, значит x=4 — точка минимума

Найдем производную заданной функции: \( \large y’ = 5cosx +\frac{24}{\pi} \: \). Уравнение \( \large y’ = 0 \: \) не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей.

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является

\(y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 5\cdot sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) -\frac{24}{\pi}\cdot \frac{5\pi}{6} + 6 =-16,5 \: \)

Воспользуемся правилом нахождения производных: \( \large y' = \left( \frac{u}{v}\right)' = \frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2} = \: \) \( \large -\frac{(10x+12)\cdot x - (5x^2+12x)\cdot x'}{x^2} = \: \) \( \large -\frac{5x^2}{x^2} = -5 \: \)

Так как \( \large y' < 0 \: \), функция \( \large y \: \) убывает на всей области определения: \( \large x \in (-\infty; 0) \cup (0;+\infty ) \: \). Значит, наибольшее значение функции достигается на левой границе заданного отрезка \( \large x=-10 \: \).

Подставляем \( \large x=-10 \: \) в исходную функцию:

\( y=-\frac{5(-10)^2+12\cdot(-10)}{-10} = -\frac{380}{-10} = 38 \: \)

Можно было бы решить проще: \( \large y=-\frac{5x^2+12x}{x} = -5x - 12 \: \), но предварительно заметив, что \( \large x \neq 0 \: \). Это линейная убывающая функция. Подставляем в нее \( \large x=-10 \: \), получаем \( \large y = -5\cdot(-10) -12 =50-12 = 38 \: \).