Дано уравнение \( \large \sqrt x=\sqrt{\left[x\right]}+\sqrt{\left\{x\right\}} \: \), , где [a] — целая часть числа а, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее а; {a} — дробная часть числа а, т.е. {a} = а - [a].
а) Решите уравнение
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку \( \large \left[tg\frac\pi{12};\;tg\frac{5\pi}{12}\right] \: \)
а) Преобразуем уравнение:\( \large \sqrt x=\sqrt{\left[x\right]}+\sqrt{x-\left[x\right]} \: \).
Так как левая и правая части уравнения неотрицательны, возведем в квадрат обе части уравнения. Получим:
\(x=\left[x\right]+2\sqrt{\left[x\right]x-\left[x\right]^2}+x-\left[x\right] \: \)
\(2\sqrt{\left[x\right]x-\left[x\right]^2}=0 \: \)
\(\left[x\right]x-\left[x\right]^2=0 \: \)
\(\left[x\right](x-\left[x\right])=0 \: \)
Имеем два случая:
1 случай:
\(\left[x\right]=0 \: \)
т.е. целая часть равна 0. Имеем
\(0\leq x<1 \: \)
2 случай:
\(x-\left[x\right]=0 \: \)
\(x=\left[x\right] \: \)
т.е. число-целое,дробной части нет, \( \large x\in N \: \).
б) Преобразуем tg:
\(tg\frac\pi{12}=\sqrt{\frac{1-cos\frac\pi6}{1+cos\frac\pi6}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{1+\frac{\sqrt3}2}}= \: \)
\(\sqrt{\frac{(1-\frac{\sqrt3}2)^2}{1-\frac34}}=\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{\frac12}= \: \)
\(=2(1-\frac{\sqrt3}2)\approx0.3 \: \)
\(tg\frac{5\pi}{12}=\sqrt{\frac{1-cos\frac{5\pi}6}{1+cos\frac{5\pi}6}}=\sqrt{\frac{1+cos\frac\pi6}{1-cos\frac\pi6}}= \: \)
\(=\frac{1+\frac{\sqrt3}2}{\frac12}=2(1+\frac{\sqrt3}2)\approx3.7 \: \)
Имеем,что в промежуток \( \large 0\leq x<1 \: \) входит \( \large \lbrack tg\frac\pi{12};1) \: \).
В промежуток \( \large x\in N \: \) входит x=1; 2; 3.
Ответ а) \( \large 0\leq x<1 \: \) или \( \large x\in N \: \)
б)\( \large \left[tg\frac\pi{12};\;1\right]\cup\left\{2;3\right\} \: \)
Ответ: а) \(0\leq x<1\) или \(x\in N\) б)\(\left[tg\frac\pi{12};\;1\right]\cup\left\{2;3\right\}\)
а) Решите уравнение \( \large 8sin^2\left( \frac{7\pi}{12}+x\right) -2\sqrt 3 cos2x=5 \: \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( \large \left[ -\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2}\right] \: \).
а) Заметим, что \( \large sin\left(\frac{7\pi}{12}+x\right) = \: \) \( \large sin\left( \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12}+x\right) = \: \) \( \large cos\left(\frac{\pi}{12}+x\right) \: \).
Преобразуем уравнение:
\(8sin^2\left(\frac{7\pi}{12}+x\right)-2\sqrt 3 cos 2x=5 \: \) \(\Rightarrow \: \) \((8cos^2\left(\frac{\pi}{12}+x\right)-2\sqrt 3 cos 2x=5 \: \) \(\Rightarrow \: \) \(4\left(2cos^2\left(\frac{\pi}{12}+x\right)-1\right)+4-2\sqrt 3cos2x \: \) \(\Rightarrow \: \) \(4cos\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)+4-2\sqrt3 cos2x=5 \: \) \(\Rightarrow \: \) \(4\left(\frac{\sqrt3}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x\right) \: \)+4-2\sqrt3 cos2x=5 \: \) \(\Rightarrow \: \) \(2\sqrt3cos2x-2sin2x-2\sqrt3cos2x=1 \: \) \(\Rightarrow \: \) \(2sin2x = -1 \: \) \(\Rightarrow \: \) \(sin2x = -\frac{1}{2} \: \) \(\Rightarrow \: \) \( \begin{cases} 2x = -\frac{\pi}{6}+2\pi k \\2x = -\frac{5\pi}{6}+2\pi k \end{cases} \: \) \(\Rightarrow \: \) \( \begin{cases} x = -\frac{\pi}{12}+\pi k \\x = -\frac{5\pi}{12}+\pi k, k\in Z \end{cases} \: \)
б) С помощью числовой окружности (см. рис.)
отберём корни, принадлежащие отрезку \( \large \left[ -\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2}\right] \: \). Получим числа \( \large -\frac{41\pi}{12};-\frac{37\pi}{12} \: \).
Ответ: а) \(x = -\frac{\pi}{12}+\pi k\), \(x = -\frac{5\pi}{12}+\pi k, k\in Z\) б) \(-\frac{41\pi}{12};-\frac{37\pi}{12}\)
а) Решите уравнение \( \large \sqrt 2 sin2x+4cos^2\left(\frac{3\pi}{8}+x\right) = 2+\sqrt 2 \: \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( \large \left[\pi; \frac{5\pi}{2} \right] \: \)
а) Применим ко второму слагаемому в левой части уравнения формулу понижения порядка \( \large cos^2\alpha = \frac12 (1+cos2\alpha) \: \), формулу приведения \( \large cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -sin\alpha \: \) и формулу синуса суммы:
\(4cos^2\left(\frac{3\pi}{8} + x\right) \: \) \(= 2+2cos\left(\frac{3\pi}{4} + 2x\right) = \: \) \(2+2cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}+2x\right) \: \) \( = 2 - 2 sin \left(\frac{\pi}{4} + 2x\right) = \: \) \( 2-2\left( \frac{\sqrt 2}{2}cos2x + \frac{\sqrt 2}{2}sin2x\right) \: \) \( = 2-\sqrt 2cos2x - \sqrt 2 sin2x \: \).
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
\(\sqrt 2sin2x+(2-\sqrt 2cos2x-\sqrt 2sin2x) \: \) \(= 2+\sqrt 2 \Leftrightarrow cos2x = \: \) \( -1 \Leftrightarrow 2x = \: \) \(\pi+2\pi k \Leftrightarrow x = \: \) \(\frac{\pi}{2} +\pi k, k \in Z \: \)
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \( \large \left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right] \: \). Получим числа \( \large \frac{3\pi}{2} \: \), \( \large \frac{5\pi}{2} \: \)
Ответ: а)\(\frac{\pi}{2} +\pi k, k \in Z\) б) \(\frac{3\pi}{2}\), \(\frac{5\pi}{2}\)
а) Решите уравнение \( \large \sqrt 3 \cdot tg(5\pi+2x) = 3 \: \).
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( \large \left[\pi; \frac{5\pi}{2} \right] \: \).
а) Так как период у \( \large tg\alpha \: \) равен \( \large \pi \: \), то \( \large tg(5\pi+2x) = tg(2x) \: \) и тогда получим уравнение:
\(\sqrt 3 \cdot tg(2x) = 3 \Leftrightarrow \: \) \( tg(2x) = \frac{3}{\sqrt 3} \Leftrightarrow \: \) \(tg(2x) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \: \) \(2x = \frac{\pi}{3} + \pi\cdot n, n \in Z \Leftrightarrow \: \) \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\cdot n, n \in Z \: \)
б) Отметим на числовой окружности дугу, соответствующую промежутку \( \large \left[\pi; \frac{5\pi}{2} \right] \: \). На ней отметим точки, соответствующие решению: \( \large x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\cdot n \: \), т.е. \( \large \pi+\frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \: \), \( \large \frac{7\pi}{6}+\frac{\pi}{2} = \frac{10\pi}{6} \: \), \( \large \frac{10\pi}{6}+\frac{\pi}{2} = \frac{13\pi}{6} \: \). По картинке видно, что если мы к этому корню прибавим еще раз \( \large \frac{\pi}{2} \: \), то он выдет за указанный отрезок. Таким образом, получаем: \( \large \frac{7\pi}{6} \: \), \( \large \frac{5\pi}{3} \: \), \( \large \frac{13\pi}{6} \: \).
Ответ: а) \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\cdot n, n \in Z \) б) \(\frac{7\pi}{6}\), \(\frac{5\pi}{3}\), \(\frac{13\pi}{6}\)
