Накануне Нового года Деды Морозы раскладывали равными количествами конфеты в подарочные пакеты, а эти пакеты складывали в мешки, по 2 пакета в один мешок. Те же самые конфеты они могли разложить в пакеты так, что в каждом из них было бы на 5 конфет меньше, чем раньше, но тогда в каждом мешке стало бы лежать по 3 пакета, а мешков при этом потребовалось бы на 2 меньше. Какое наибольшее количество конфет могли раскладывать Деды Морозы?
Пусть x- количество конфет в одном пакете, а y- количество мешков.Тогда в первом случае 2xy, а во втором случае-3(x−5)(y−2). Так как было одинаковое количество конфет, то получим уравнение: 2xy=3(x−5)(y−2). Преобразуем: (x−15)(y−6)=60. Т.е множители должны быть натуральными числами и в произведении давать число 60. При переборе должны получить числа 1 и 60, 2 и 30, 3 и 20 и тд. После перебора, получим,что максимальное xy получаем при значениях множителей 1 и 60, то есть x=16, y=66. т.е. получаем общее количество конфет 2xy=2*16*66=2112.
Ответ: 2112
Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?
Пусть у Степана было \( \large х \: \) тыс. руб., первый банк дает \( \large а \: \)% годовых, второй — \( \large b \: \)% годовых. Тогда в конце года сумма вклада в первом банке увеличится в \( \large m=1+0,01a \: \) раз, а во втором банке в \( \large n=1+0,01b \: \) раз.
Степан положил в первый и второй банк 60% и 40% своего капитала, по прошествии одного года на счетах в банках было \( \large 0,6xm + 0,4xn =590 \: \) тыс. руб. соответственно. Если бы Степан первоначально положил 40% капитала в первый банк, а 60% капитала во второй банк, то через год на счетах было бы \( \large 0,4xm + 0,6xn =610 \: \) тыс. руб.
Решая систему уравнений:
\(\begin{cases} 0,6xm + 0,4xn =590, \\ 0,4xm + 0,6xn =610 \end{cases} \: \) относительно \(xm \: \) и \(xn \: \) находим: \(xm = 550 \: \), \(xn = 650 \: \), \(\frac{m}{n} = \frac{11}{13} \: \), \(m = \frac{11}{13}n \: \).
К концу второго года сумма вкладов достигла величины:
\(0,6xm^2 + 0,4xn^2 = \: \) \(0,6\cdot 550\cdot m+0,4\cdot 650\cdot n = \: \) \(330\cdot \frac{11}{13}n+260n \: \) \(=\frac{3630n}{13} + 260n = \: \) \(\frac{7010}{13}n \: \).
По условию, она равна 701 тыс. руб., откуда имеем:
\(\frac{7010}{13}n = 701 \Rightarrow n=1,3 \: \).
Тогда \( \large m=1,1 \: \), \( \large x=500 \: \), а искомая величина суммы вклада к концу второго года при вложении 40% капитала в первый банк и 60% во второй равна
\(0,4xm^2 + 0,6xn^2 = \: \) \(0,4\cdot 500\cdot 1,1^2 + 0,6\cdot 500\cdot 1,3^2 = \: \) \(242+507 = 749 \: \) тыс. руб.
Ответ: 749 000 руб.
Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.
По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).
По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
Рассмотрим первую схему. Пусть \( \large х \: \) руб. – искомая фиксированная сумма
| ]Который отчетный месяц? | Долг к концу месяца с учетом начисленных процентов (руб.) | Анатолий переводит в банк (руб.) | Долг Анатолия на начало следующего месяца (руб.) |
| Первый | \( \large 331000\cdot 1,1 =364100 \: \) | \( \large x \: \) | \( \large 364100-x \: \) |
| Второй | \( \large (364100-x)\cdot 1,1 = 400510 - 1,1x \: \) | \( \large x \: \) | \( \large 400510-2,1x \: \) |
\(3,31x = 440561 \Leftrightarrow x =133100 \Leftrightarrow 3x = 399300 \: \)
Теперь рассмотрим вторую схему. Анатолий должен перевести в банк:
| ]Который отчетный месяц? | Часть кредита по основному долгу (руб.) | Процентные ставки банка | Всего (руб.) |
| Первый | \( \large \frac{331000}{3} \: \) | \( \large 331000\cdot 1,1=33100 \: \) | \( \large \frac{331000}{3}+33100 = \frac{430300}{3} \: \) |
| Второй | \( \large \frac{331000}{3} \: \) | \( \large \frac{331000\cdot 0,1\cdot 2}{3}=\frac{66200}{3} \: \) | \( \large \frac{331000}{3} +\frac{66200}{3}=132400 \: \) |
Итак, если Анатолий воспользуется второй схемой, то он в банк должен будет вернуть сумму, равную
\(\frac{430300}{3} + 132400 + \frac{364100}{3} = \frac{794400}{3} + 132400 = 397200 руб \: \)
А эта сумма меньше, чем 399300, на 2100 руб.
Замечание:
Эту разницу можно было бы вычислить и так:
1) \( \large Ф = \frac{331000\cdot 1,1^3}{1,1^2+1,1+1}= \frac{331000\cdot 1,331}{3,31} = 1,331\cdot 100000 = 133100 \: \);
2) \( \large ЗФ = 399300 \: \);
3) \( \large 331000 + 331000\cdot 0,1\cdot \left(1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right) = 331000 + 33100\cdot 2 = 397200 \: \);
4) 399300 - 397200 = 2100
Ответ: 2100
