Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ

Решайте задачи!
Вход
Математика (профиль) ЕГЭ Вариант 3
№ 1(100)

Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?


Налог составит 700 · 0,13 = 91 рубль. После выплаты налога останется 700 − 91 = 609 рублей. Разделим 609 на 60:

\(\frac{609}{60} = 10\frac{9}{60} = 10\frac{3}{20} \: \)

Значит, денег хватает на 10 тюльпанов. В букете должно быть нечетное число цветов, поэтому студент купит 9 тюльпанов.


Примечание.


Составителям этого экзаменационного задания следовало бы сформулировать вопрос так: «Сколько тюльпанов будет в букете, если известно, что со студента удержат налог на доходы, который составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?».

Ответ: 9

№ 2(101)
/view/ege/img_tasks/ege_mat_prof/v3-2.jpg

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней выпадало более 2 миллиметров осадков.


Видно, что более 2 миллиметров осадков выпадало три дня: 8, 12 и 14 января (см. рис.).

Ответ: 3

№ 3(102)
/view/ege/img_tasks/ege_mat_prof/v3-3.jpg

На клетчатой бумаге с размером клетки \( \large 1\times 1 \: \) изображён угол. Найдите тангенс этого угла.


/view/ege/img_tasks/ege_mat_prof/v3-3o.jpg

Проведем высоту \( \large BK \: \) из точки \( \large B \: \) на сторону \( \large OA \: \). Тогда, принимая во внимание, что \( \large BK=OK \: \), получим:


\(tg\angle AOB =tg \angle KOB =\frac{BK}{OK} =1 \: \)

Ответ: 1

№ 4(103)

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?


На клавиатуре телефона 10 цифр, из них 5 четных: 0, 2, 4, 6, 8. Поэтому вероятность того, что случайно будет нажата четная цифра, равна 5 : 10 = 0,5.

Ответ: 0,5

№ 5(104)

Найдите корень уравнения \( \large \frac{1}{7x+3} = 5 \: \).


Последовательно получаем:

\(\frac{1}{7x+3}=5 \: \) \(\Leftrightarrow \: \) \(7x+3=\frac{1}{5} \: \) \(\Leftrightarrow \: \) \(7x=-\frac{14}{5} \: \) \(\Leftrightarrow \: \) \(x=-\frac{2}{5} \: \)

Ответ: -0,4

№ 6(105)
/view/ege/img_tasks/ege_mat_prof/v3-6.jpg

В треугольнике \( \large ABC \: \) угол \( \large C \: \) равен \( \large 90° \: \), \( \large tg A=\frac{33}{4\sqrt{33}} \: \),\( \large АС = 4 \: \). Найдите \( \large АВ \: \).


Имеем: \( \large AB =\frac{AC}{cosA} = \: \) \( \large \frac{AC}{\sqrt{\frac{1}{1+tg^2A}}} = \: \) \( \large \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{1+\frac{33}{16}}}} \: \) \( \large =4\cdot \sqrt{\frac{49}{16}}=7 \: \)

Ответ: 7

№ 7(106)

Материальная точка движется прямолинейно по закону \( \large x(t) = t^2 -13t+23 \: \) (где \( \large x \: \) — расстояние от точки отсчета в метрах, \( \large t \: \) — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна \( \large 3 м/с \: \)?


Найдем закон изменения скорости:

\(v(t)=x’(t)=2t-13 \: \) м/с

Чтобы найти, в какой момент времени \( \large t \: \) скорость была равна \( \large 3 м/с \: \), решим уравнение:

\(2t-13 = 3 \Leftrightarrow 2t=16 \Leftrightarrow t=8 c. \: \)

Ответ: 8

№ 8(107)
/view/ege/img_tasks/ege_mat_prof/v3-8.jpg

Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.


Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра \( \large V_0 \: \) и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

\(V=V_0-4\cdot \frac{1}{8}V_0 = \frac{1}{2}V_0 = 9,5 \: \)

Ответ: 9,5

№ 9(108)

Найдите значение выражения \( \large \frac{g(x-9)}{g(x-11)} \: \), если \( \large g(x)=8^x \: \).


Выполним преобразования: \( \large \frac{g(x-9)}{g(x-11} = \frac{8^{x-9}}{8^{x-11}}=8^{x-9-(x-11) }= 8^2 = 64 \: \)

Ответ: 64

№ 10(109)

Рейтинг \( \large R \: \) интернет-магазина вычисляется по формуле

\(R = r_{пок} - \frac{r_{пок} – r_{ЭКС}}{(K+1)\frac{0,02K}{r_{пок}+0,1}} \: \)

где \( \large r_{пок} \: \) — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), \( \large \ r_{ЭКС} \: \) — оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и \( \large K \: \) — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина «Бета», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 20, их средняя оценка равна 0,65, а оценка экспертов равна 0,37.


Подставим значения в формулу:

\(R = r_{пок} - \frac{r_{пок} – r_{ЭКС}}{(K+1)\frac{0,02K}{r_{пок}+0,1}} = \: \) \(0,65 - \frac{0,65-0,37}{(20+1)\frac{20\cdot 0,02}{0,65+0,1}} =0,65 - \frac{0,28}{21\cdot \frac{0,4}{0,75}}=0,65-\frac{0,28\cdot 0,25}{2,8}=0,625 \: \)

Ответ: 0,625

№ 11(110)

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.


Скорость сближения поездов равна 60 км/ч или 1 км/мин. Следовательно, за 1 минуту пассажирский поезд сместится относительно товарного на 1 км. При этом он преодолеет расстояние, равное сумме длин поездов. Поэтому длина пассажирского поезда равна 1000 − 600 = 400 м.


Приведём другое решение.

Скорость сближения поездов равна

\(90-30 = 60 км/час =\frac{50}{3} м/c \: \)


Пусть длина пассажирского поезда равна \( \large х \: \) метров. За 60 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевает расстояние \( \large х + 600 \: \). Тогда:

\(x+600 = \frac{50}{3}\cdot 60 \Leftrightarrow x+600 = 1000 \Leftrightarrow x = 400 \: \).


Поэтому длина пассажирского поезда 400 м.

Ответ: 400

№ 12(111)

Найдите наименьшее значение функции \( \large y =5 sinx +\frac{24}{\pi}x +6 \: \) на отрезке \( \large \left[ -\frac{5\pi}{6};0\right] \: \).


Найдем производную заданной функции: \( \large y’ = 5cosx +\frac{24}{\pi} \: \). Уравнение \( \large y’ = 0 \: \) не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей.

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является

\(y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 5\cdot sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) -\frac{24}{\pi}\cdot \frac{5\pi}{6} + 6 =-16,5 \: \)

Ответ: -16,5

№ 13(112)

а) Решите уравнение \( \large \sqrt 2 sin2x+4cos^2\left(\frac{3\pi}{8}+x\right) = 2+\sqrt 2 \: \)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( \large \left[\pi; \frac{5\pi}{2} \right] \: \)


/view/ege/img_tasks/ege_mat_prof/v3-13.jpg

а) Применим ко второму слагаемому в левой части уравнения формулу понижения порядка \( \large cos^2\alpha = \frac12 (1+cos2\alpha) \: \), формулу приведения \( \large cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -sin\alpha \: \) и формулу синуса суммы:

\(4cos^2\left(\frac{3\pi}{8} + x\right) \: \) \(= 2+2cos\left(\frac{3\pi}{4} + 2x\right) = \: \) \(2+2cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}+2x\right) \: \) \( = 2 - 2 sin \left(\frac{\pi}{4} + 2x\right) = \: \) \( 2-2\left( \frac{\sqrt 2}{2}cos2x + \frac{\sqrt 2}{2}sin2x\right) \: \) \( = 2-\sqrt 2cos2x - \sqrt 2 sin2x \: \).


Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

\(\sqrt 2sin2x+(2-\sqrt 2cos2x-\sqrt 2sin2x) \: \) \(= 2+\sqrt 2 \Leftrightarrow cos2x = \: \) \( -1 \Leftrightarrow 2x = \: \) \(\pi+2\pi k \Leftrightarrow x = \: \) \(\frac{\pi}{2} +\pi k, k \in Z \: \)


б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \( \large \left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right] \: \). Получим числа \( \large \frac{3\pi}{2} \: \), \( \large \frac{5\pi}{2} \: \)

Ответ: а)\(\frac{\pi}{2} +\pi k, k \in Z\) б) \(\frac{3\pi}{2}\), \(\frac{5\pi}{2}\)

№ 14(113)

В основании правильной треугольной призмы \( \large ABCA_1B_1C_1 \: \) лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка \( \large N \: \) — середина ребра \( \large A_1C_1 \: \).

а) Постройте сечение призмы плоскостью \( \large BAN \: \).

б) Найдите периметр этого сечения.


/view/ege/img_tasks/ege_mat_prof/v3-14o.jpg

а) Проведём через точку \( \large N \: \) прямую, параллельную прямой \( \large AB \: \), до пересечения с прямой \( \large B_1C_1 \: \) в точке \( \large K \: \). Трапеция \( \large ABKN \: \) — искомое сечение.

б) Имеем \( \large A_1N= 3 \: \), так как точка \( \large N \: \) — середина ребра \( \large A_1C_1 \: \). Значит, \( \large AN =\sqrt{16+9} = 5 \: \). Аналогично \( \large BK = 5 \: \).

Далее \( \large NK = 3 \: \), как средняя линия треугольника \( \large A_1B_1C_1 \: \). Следовательно, искомый периметр сечения равен \( \large 6 + 5 + 5 + 3 = 19 \: \).

Ответ: 19

№ 15(114)

Решите неравенство: \( \large 3|x+3|-3x \le 14-|2-x| \: \)


Воспользуемся тем, что для суммы \( \large |a|+|b| \: \) возможны четыре случая раскрытия модулей, откуда заключаем:

\(|a|+|b| \le c \Leftrightarrow \begin{cases} -c\le a+b\le c\\ -c\le a- b\le c \end{cases} \: \).

Тогда имеем:

\(3|x+3|+|2-x|\le 3x+14 \Leftrightarrow \: \) \( \begin{cases} -3x-14\le 3(x+3) + (2-x)\le 3x+14\\ -3x-14\le 3(x+3) - (2-x)\le 3x+14\end{cases} \: \) \(\Leftrightarrow \: \) \( \begin{cases} -3x-14\le 2x+11\le 3x+14\\ -3x-14\le 4x+7\le 3x+14\end{cases} \: \) \(\Leftrightarrow \: \) \( \begin{cases} x\ge -5\\ x\ge -3 \Leftrightarrow -3 \le x \le 7\\ x\le 7\end{cases} \: \)

Ответ: \([-3;7]\)

№ 16(115)

Точка \( \large О \: \) — центр окружности, вписанной в треугольник \( \large ABC \: \). На продолжении отрезка \( \large AO \: \) за точку \( \large О \: \) отмечена точка \( \large K \: \) так, что \( \large BK = OK \: \).

а) Докажите, что четырехугольник \( \large ABKC \: \) вписанный.

б) Найдите длину отрезка \( \large AO \: \), если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника \( \large ABC \: \) равны 3 и 12 соответственно, а \( \large OK = 5 \: \).


/view/ege/img_tasks/ege_mat_prof/v3-16o.jpg

а) Пусть \( \large \angle A=2\alpha \: \), \( \large \angle B=2\beta \: \) Так как \( \large O \: \) — центр вписанной окружности треугольника \( \large ABC \: \) то \( \large AO \: \), \( \large BO \: \) — биссектрисы углов \( \large A \: \) и \( \large B \: \), значит, \( \large \angle BAO =\alpha \: \), \( \large \angle ABO =\beta \: \). Угол \( \large BOK \: \) внешний для треугольника \( \large AOB \: \) поэтому \( \large \angle BOK =\alpha + \beta \: \) (см. рисунок слева).

Так как \( \large BK = OK \: \) (по построению), то \( \large \angle OBK =\angle BOK =\alpha + \beta \: \), тогда \( \large \angle CBK = \angle OBK - \angle CBO = \alpha + \beta - \beta = \alpha \: \). Углы \( \large CBK \: \) и \( \large KAC \: \) опираются на один и тот же отрезок \( \large CK \: \) и равны друг другу: \( \large \angle CBK = \angle KAC = \alpha \: \). Тогда по признаку, связанному со свойством вписанных углов, точки\( \large A \: \), \( \large B \: \),\( \large K \: \),\( \large C \: \), лежат на одной окружности.

б) Обозначим через \( \large r \: \), \( \large R \: \) радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника \( \large ABC \: \). Пусть \( \large H \: \) — проекция точки \( \large O \: \) на сторону \( \large AB \: \) (см. рис.), тогда \( \large OH = r \: \), \( \large AO = \frac{r}{sin \alpha} \: \). Так как точки \( \large A \: \), \( \large B \: \),\( \large K \: \),\( \large C \: \) лежат на одной окружности, то радиус описанной окружности треугольника \( \large ABK \: \) совпадает с радиусом описанной окружности треугольника \( \large ABC \: \) и равен \( \large R \: \).

Из треугольника \( \large ABK \: \) по теореме синусов \( \large \frac{BK}{sin \alpha}=2R \: \), \( \large sin \alpha = \frac{BK}{2R} \: \). Тогда \( \large AO = \frac{r}{sin \alpha} = \frac{r}{\frac{BK}{2R}} = \frac{r\cdot 2R}{BK} \: \).

Так как \( \large r=3 \: \), \( \large R=12 \: \), \( \large BK = OK =5 \: \), то \( \large AO = \frac{3\cdot 24}{5} = 14,4 \: \).

Ответ: 14,4

№ 17(116)

Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.

По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).

По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?


Рассмотрим первую схему. Пусть \( \large х \: \) руб. – искомая фиксированная сумма

]Который отчетный месяц? Долг к концу месяца с учетом начисленных процентов (руб.) Анатолий переводит в банк (руб.) Долг Анатолия на начало следующего месяца (руб.)
Первый \( \large 331000\cdot 1,1 =364100 \: \) \( \large x \: \) \( \large 364100-x \: \)
Второй \( \large (364100-x)\cdot 1,1 = 400510 - 1,1x \: \) \( \large x \: \) \( \large 400510-2,1x \: \)


\(3,31x = 440561 \Leftrightarrow x =133100 \Leftrightarrow 3x = 399300 \: \)


Теперь рассмотрим вторую схему. Анатолий должен перевести в банк:

]Который отчетный месяц? Часть кредита по основному долгу (руб.) Процентные ставки банка Всего (руб.)
Первый \( \large \frac{331000}{3} \: \) \( \large 331000\cdot 1,1=33100 \: \) \( \large \frac{331000}{3}+33100 = \frac{430300}{3} \: \)
Второй \( \large \frac{331000}{3} \: \) \( \large \frac{331000\cdot 0,1\cdot 2}{3}=\frac{66200}{3} \: \) \( \large \frac{331000}{3} +\frac{66200}{3}=132400 \: \)


Итак, если Анатолий воспользуется второй схемой, то он в банк должен будет вернуть сумму, равную

\(\frac{430300}{3} + 132400 + \frac{364100}{3} = \frac{794400}{3} + 132400 = 397200 руб \: \)


А эта сумма меньше, чем 399300, на 2100 руб.

Замечание:

Эту разницу можно было бы вычислить и так:

1) \( \large Ф = \frac{331000\cdot 1,1^3}{1,1^2+1,1+1}= \frac{331000\cdot 1,331}{3,31} = 1,331\cdot 100000 = 133100 \: \);

2) \( \large ЗФ = 399300 \: \);

3) \( \large 331000 + 331000\cdot 0,1\cdot \left(1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right) = 331000 + 33100\cdot 2 = 397200 \: \);

4) 399300 - 397200 = 2100

Ответ: 2100

№ 18(117)

Найдите все значения параметра при которых уравнение

\( (|x+2|+|x-a|)^2 - 3(|x+2|+|x-a|)+3a(5-3a) = 0 \: \)

имеет ровно два решения.


Найдите все значения параметра при которых уравнение

\( (|x+2|+|x-a|)^2 - 3(|x+2|+|x-a|)+3a(5-3a) = 0 \: \)

имеет ровно два решения.


Пусть \( \large t = |x+2|+|x-a| \: \) тогда исходное уравнение принимает вид:

\( t^2-5t+3a(5-3a) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t=3a\\ t=5-3a\end{cases} \: \)

откуда

$$\left[\begin{gathered}|x+2| +|x - a| = 3a\\|x+2| +|x - a| = 5 - 3a\end{gathered}\right.$$

Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений \( \large |x+2| +|x - a| = 3a \: \) или \( \large |x+2| +|x - a| = 5 - 3a \: \). Исследуем сколько решений имеет уравнение или \( \large |x+2| + |x - a| = b \: \) в зависимости от \( \large a \: \) и \( \large b \: \). Заметим, что слева стоит сумма модулей, то есть при \( \large b\lt 0 \: \) решений нет. Запишем уравнение в виде \( \large |x+2| = - |x - a| + b \: \) График левой части этого уравнения — график модуля с вершиной в точке \( \large (-2;0) \: \), график правой части — график модуля, отражённый относительно оси \( \large OX \: \), с вершиной в точке \( \large (a,b) \: \). Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая \( \large y=-x+a+b \: \) лежит правее (выше) прямой \( \large y=-x-2 \: \) и прямая \( \large y=x - a + b \: \) лежит левее (выше) прямой \( \large y=x+2x \: \) Это достигается условиями \( \large -x+a+b \gt -x-2 \: \) и \( \large x- a + b \lt x+2 \: \). Таким образом уравнение совокупности имеет два решения при условии:

$$\begin{cases}a+b \gt -2,\\a-b \lt -2,\\b \ge 0\end{cases}$$

Если вершина \( \large (a,b) \: \) находится внутри части плоскости отсекаемой графиком \( \large y=|x+2| \: \), то уравнение имеет два решения, если прямые \( \large y=-x-2 \: \) и \( \large y=-x+a+b \: \) совпадают или прямые \( \large y=x+2 \: \) и \( \large y=x-a+b \: \) совпадают, то уравнение имеет бесконечно много решений, если вершина \( \large (a,b) \: \) совпадает с точкой \( \large (-2,0) \: \), то уравнение имеет одно решение.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения, если одно из уравнений совокупности имеет два решения, а второе не имеет решений, либо если каждое из уравнений совокупности имеет два решения, но эти решения совпадают. Разберём каждый из этих случаев.

Первый случай. При \( \large a+b\lt -2 \: \) или \( \large a-b\gt -2 \: \), или \( \large b\lt 0 \: \) уравнение совокупности решений не имеет. Таким образом исходное уравнение имеет два решения, если первое уравнение имеет два решения, а второе — не имеет, либо наоборот. В случае, когда первое уравнение верно система условий имеет вид:

$$\begin{cases}\begin{cases}a+3a \gt -2,\\a-3a \lt -2,\\3a \ge 0\end{cases}\\\left[\begin{gathered}a+5-3a \lt -2\\a-5+3a \gt -2\\5-3a \lt 0\end{gathered}\right.\end{cases}
\Leftrightarrow\:
\begin{cases}\begin{cases}a \gt -\frac{1}{2},\\a \gt 1,\\a \ge 0\end{cases}\\\left[\begin{gathered}a \gt \frac{7}{2}\\a \gt \frac{3}{4}\\a \gt \frac{5}{3}\end{gathered}\right.\end{cases}
\Leftrightarrow\:
a\gt 1$$

В случае, когда второе уравнение верно система условий имеет вид:


$$\begin{cases}\begin{cases}a+5-3a \gt -2\\a-5+3a \lt -2\\5-3a \ge 0
\end{cases}\\\left[\begin{gathered}a+3a \lt -2,\\a-3a \gt -2,\\3a \lt 0\end{gathered}\right.\end{cases}
\Leftrightarrow\:
\begin{cases}\begin{cases}a \lt \frac{7}{2}\\a \lt \frac{3}{4}\\a \le \frac{5}{3}\end{cases}\\\left[\begin{gathered}a \lt -\frac{1}{2},\\a \lt 1,\\a \lt 0\end{gathered}\right.\end{cases}
\Leftrightarrow\:
a\lt \frac{3}{4}$$

Второй случай. Решения совпадут, если совпадают уравнения, то есть, если \( \large 3a = 5-3a \: \), откуда \( \large a=\frac{5}{6} \: \). При данном значении \( \large a \: \) оба уравнения прнимают вид:

\(|x+2|+|x-\frac{5}{6}| = \frac{5}{2} \: \)

Данное уравнение не имеет решений.

То есть исходное уравнение не имеет решений при \( \large a = \frac{5}{6} \: \).

Таким образом, уравнение имеет ровно два решения при \( \large a \in \left( - \infty; \frac{3}{4} \right) \cup (1;+\infty) \: \).

Ответ: \( \left( - \infty; \frac{3}{4} \right) \cup (1;+\infty) \)

№ 19(118)

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?


а) Пусть \( \large k \: \) - число положительных чисел, \( \large l \: \) отрицательных, а \( \large m \: \) - число равных нулю. Тогда сумма все положительных чисел равна \( \large 4k \: \), сумма всех отрицательных чисел равна \( \large -8l \: \), а сумма всех чисел равна \( \large 4k-8l = -3(k+m+l) \: \). И так как сумма всех чисел (4k-8l \: \) делится на 4, с одной стороны, а с другой \( \large 40 \lt k+l+m \lt 48 \: \), то это возможно только при \( \large k+m+l = 44 \: \).

б) Из условия \( \large 4k-8l = -3(k+m+l) \: \) получаем: \( \large 7k + 3m = 5l \: \). Откуда следует, (даже при \( \large m=0 \: \) \( \large 7k = 5l \: \), откуда \( \large \frac{7}{5}k = l \: \), т.е. \( \large l \ge k \: \).

в) Так как \( \large k+l+m = 44 \: \) (было установлено в a), то подставив 44 в правую часть равенства \( \large 4k-8l = -3(k+l+m): 4k-8l = -132 \: \), получим \( \large k=2l-33 \: \). Так как \( \large k+l \le 44 \: \), получаем: \( \large 3l-33 \le 44 \: \), \( \large 3l \le 77 \: \), \( \large l\le 25 \: \),\( \large k=2l-33\le 17 \: \); то есть положительных чисел не более 17.

Приведем пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и два раза написан 0. Тогда \( \large \frac{4\cdot 17 - 8\cdot 25}{44} = \frac{68-200}{44} = -3 \: \) указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.