Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ

1500⋅(1-0,2)=1200 Ответ: 1200

Решите неравенство:

\(\frac{11}{13+11+6+20}=0,22 \: \)

\(\sqrt{\frac{2x+7}4}=2 \: \)

\(\frac{2x+7}4=4 \: \)

\(2x+7=16 \: \)

\(2x=9 \: \)

\(x=4,5 \: \)

Так как диагонали ромба делятся пополам точкой пересечения, то

\(OD = \frac{8}{2}= 4 \: \)

Из \( \large \Delta DOC: \: \)

\(OC^2 = DC^2-OD^2 = \: \)

\(=5^2-4^2=9 \: \)

Т.е. ОС = 3. Следовательно, AC = 6.

Так как \( \large S = \frac{d_1\cdot d_2}{2} \: \), получаем ответ:

\(S = \frac{8\cdot 6}{2} = 24 \: \)

Производная функции отрицательна в тех точках, в которых график функции убывает: \( \large x_3, x_4, x_5, x_8 \: \)

По теореме Пифагора находим OA из треугольника SAO: \( \large OA=\sqrt {AS^2-SO^2}= \: \)

\(=\sqrt {20^2-16^2}=12 \: \)

\(V=\frac13\cdot OS\cdot\pi\cdot AO^2= \: \)

\(=\frac13\cdot16\cdot\pi\cdot12^2=768\pi \: \)

Тогда в ответ: \( \large \frac{768\pi}\pi=768 \: \)

\(\frac{log_\frac1427}{log_43}=\frac{log_427}{log_4\frac{1}{4}\cdot log_43}=\frac{log_43^3}{(-1)\cdot log_43}= \: \)

\(=\frac{3log_43}{(-1)log_43}=-3 \: \)

\(Q=cm(t_2-t_1) \: \)

1 890 000 = 4200⋅5⋅(t₂—1)

t₂—1 = 90

t₂ = 91

Пусть Х км/ч скорость 2-го автомобилиста, тогда скорость 1-го — (Х—20) км/ч. Второй автомобилист проехал путь за \( \large \frac{350}Х \: \) часов, а первый за \( \large 1+\frac{350}{Х-20} \: \). Первый прибыл в город позже второго на \( \large \frac{350}{Х-20}+1-\frac{350}Х \: \) часов, а по условию на 3. Получили уравнение:

\(\frac{350}{Х-20}+1-\frac{350}Х=3 \: \)

\(Х^2-20Х-3500=0 \: \)

\(D=\left(-20\right)^2-4\cdot3500=14400 \: \)

Возьмем только положительный корень: \( \large Х=\frac{20+\sqrt{14400}}2=70 \: \). Т.е. 70 км/ч скорость второго автомобиля

Найдем производную и точки, в которых она равна 0 или не существует, разобьем ими область определения функции на отрезки и определим знаки производной на них. Переход знака производной с отрицательного значения в положительное будет точкой минимума \( \large y=(x-5)e^{x+2} \: \)

\(y'=\left(\left(x-5\right)e^{x+2}\right)'= \: \)

\(e^{x+2}+(x-5)e^{x+2}=(x-4)e^{x+2} \: \)

y'=0 при x=4. При х<4 производная отрицательная, при x>4 производная положительная, значит x=4 — точка минимума

а) Преобразуем уравнение:\( \large \sqrt x=\sqrt{\left[x\right]}+\sqrt{x-\left[x\right]} \: \).

Так как левая и правая части уравнения неотрицательны, возведем в квадрат обе части уравнения. Получим:

\(x=\left[x\right]+2\sqrt{\left[x\right]x-\left[x\right]^2}+x-\left[x\right] \: \)

\(2\sqrt{\left[x\right]x-\left[x\right]^2}=0 \: \)

\(\left[x\right]x-\left[x\right]^2=0 \: \)

\(\left[x\right](x-\left[x\right])=0 \: \)

Имеем два случая:

1 случай:

\(\left[x\right]=0 \: \)

т.е. целая часть равна 0. Имеем

\(0\leq x<1 \: \)

2 случай:

\(x-\left[x\right]=0 \: \)

\(x=\left[x\right] \: \)

т.е. число-целое,дробной части нет, \( \large x\in N \: \).

б) Преобразуем tg:

\(tg\frac\pi{12}=\sqrt{\frac{1-cos\frac\pi6}{1+cos\frac\pi6}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{1+\frac{\sqrt3}2}}= \: \)

\(\sqrt{\frac{(1-\frac{\sqrt3}2)^2}{1-\frac34}}=\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{\frac12}= \: \)

\(=2(1-\frac{\sqrt3}2)\approx0.3 \: \)

\(tg\frac{5\pi}{12}=\sqrt{\frac{1-cos\frac{5\pi}6}{1+cos\frac{5\pi}6}}=\sqrt{\frac{1+cos\frac\pi6}{1-cos\frac\pi6}}= \: \)

\(=\frac{1+\frac{\sqrt3}2}{\frac12}=2(1+\frac{\sqrt3}2)\approx3.7 \: \)

Имеем,что в промежуток \( \large 0\leq x<1 \: \) входит \( \large \lbrack tg\frac\pi{12};1) \: \).

В промежуток \( \large x\in N \: \) входит x=1; 2; 3.

Ответ а) \( \large 0\leq x<1 \: \) или \( \large x\in N \: \)

б)\( \large \left[tg\frac\pi{12};\;1\right]\cup\left\{2;3\right\} \: \)

Дано: SABC -пирамида, \( \large \angle ASB=60^\circ, \angle BSC=\angle CSA \: \)\( \large =45^\circ \: \), \( \large r \: \) - радиус вписанной в пирамиду сферы, \( \large SA=SB=2, SC=2\sqrt 2 \: \).

а) Доказать, \( \large (BSC)\bot (ASC) \: \)

б) Найти \( \large r \: \)

а) Т.к. AS=SB, то треугольник \( \large ASB \: \)-равнобедренный. Следовательно, \( \large \angle SAB=\angle SBA=\frac{180^\circ-60^\circ}2=60^\circ \: \). Т.к. все углы треугольника равны 60,то треугольник ASB-равносторонний, т.е. \( \large AC=CB=AB \: \).

\(\bigtriangleup ASC=\bigtriangleup BSC \: \) (по первому признаку равенства треугольников, т.к. AS=CB, \(\angle ASC=\angle CSB \: \), SC-общая). Следовательно, AC=BC.

\(\bigtriangleup SCB: \: \) по теореме косинусов имеем, что

\(BC^2=SC^2+BS^2 \: \) \(-2\cdot SC\cdot BS\cdot cos(\angle CSB) \: \)

\(BC^2=8+4-2\cdot2\sqrt2\cdot 2\cdot\frac{\sqrt2}2\Rightarrow \: \) \(BC^2=4\Rightarrow BC=2 \: \)

т.е. BC=AC=2,SB=AS=2. Следовательно, \( \large \bigtriangleup ASC,\bigtriangleup SCB \: \) - равнобедренные \( \large \Rightarrow\angle SCA=\angle SCB=45^\circ \: \) \( \large \Rightarrow\;\angle SAC=\angle SBC=90^\circ \: \)

Проведем \( \large BH\bot SC \: \), то есть высоту в треугольнике \( \large ASC \: \). Имеем, что AH-высота треугольника BSC. т.е. \( \large BH\bot SC AH\bot SC \: \). Имеем по определению двугранный угол AHB,причем в треугольнике AKB \( \large AH=HB=\sqrt 2 \: \). По теореме косинусов найдем \( \large \angle AHB \: \) и получим,что \( \large \angle AHB=90^\circ \: \). Следовательно, и двугранный угол \( \large \angle AHB=90^\circ \: \), т.е. искомые плоскости перпендикулярны, что и требовалось доказать.

б) Чтобы найти радиус вписанной сферы, воспользуемся следующей формулой: \( \large r=\frac{V_{пир}}{S_{полн}} \: \)

Найдем объем пирамиды:

\(V_{пир}=\frac13S_{SBC}\times AH= \: \) \(\frac13\cdot (\frac12\cdot2\cdot 2) \: \) \(\times\sqrt2=\frac{2\sqrt2}3 \: \)

Найдем площадь всей поверхности пирамиды:

\(S_{полн}=2\times S_{ASB}+2\times S_{ASC}= \: \) \(2\cdot\frac{4\sqrt3}4+2\cdot\frac12\cdot2\cdot2 \: \) \(=2\sqrt3+4 \: \)

\(r=\frac{3\cdot2\sqrt2}{3\cdot(2\sqrt3+4)}=\frac{\sqrt2(\sqrt3-2)}{3-4}= \: \) \(\sqrt8-\sqrt6 \: \)

Ответ: \( \large \sqrt8-\sqrt6 \: \)

\(4^x+\frac{16}{x^2}\geq5\times\frac{2^{x+1}}x \: \)

\(2^{2x}+\frac{16}{x^2}\geq10\times\frac{2^x}x \: \)

Домножим обе части на \( \large \frac x{2^x} \: \). Получим 2 случая:

1) \( \large 2^x\times x+\frac{16}{2^x\times x}\geq10 \: \)

Пусть \( \large y=2^x\times x \: \). Тогда \( \large y+\frac{16}y\geq10 \: \)

\(\frac{y^2+16-10y}y\geq0 \: \)

Нули числителя: \( \large y^2+16-10y=0 \: \)

\(D=100-16\cdot4=100-64=36 \: \). Откуда \(y_1=8, y_2=2 \: \).

Получаем тогда:

\(\frac{(y-8)(y-2)}y\geq0 \: \)

Решая методом интервалов, получим: \( \large (0;1]\bigcup[2;+\infty) \: \)

2) \( \large x<0 \: \) \( \large \frac{y^2+16-10y}y\leq0 \: \) или \( \large \frac{(y-8)(y-2)y}y\leq0 \: \).

Решая методом интервала с учетом: \( \large x<0 \: \) получим, \( \large (-\infty;0) \: \).

Окончательный ответ: \( \large (0;1]\bigcup[2;+\infty)\bigcup (-\infty;0) \: \)

ОДЗ:

\(x+y>0 \: \), \(y>-x \: \)

\(x^2+y^2>0 \: \) всегда, кроме x=0; y=0

\(x^2+y^2\neq1 \: \). Окружность с центром \(О_1(0;0) \: \) и радиусом \(R=1 \: \). Изображаем пунктиром.

Преобразуем правую часть уравнения: \( \large 1=log_{x^2+y^2}(x^2+y^2) \: \)

Тогда получим:

\(log_{x^2+y^2}(x+y)> \: \)\(log_{x^2+y^2}(x^2+y^2) \: \)

1 сл: \( \large x^2+y^2>1 \: \)

\(\frac{x+y}{x^2+y^2}>1 \: \)

\(\frac{x+y-x^2-y^2}{x^2+y^2}>0 \: \)

\(\frac{-x-y+x^2+y^2}{x^2+y^2}<0 \: \)

\(-x-y+x^2+y^2<0 \: \)

\(\left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2>\frac12 \: \)

Окружность с центром в точке (1/2;1/2) и радиусом \( \large R=\frac1{\sqrt2} \: \) при \( \large x^2+y^2>1 \: \)

2 сл. \( \large 0 < x^2+y^2 < 1 \: \)

\(\frac{x+y}{x^2+y^2}<1 \: \)

\(\frac{x+y-x^2-y^2}{x^2+y^2}<0 \: \)

\(\frac{-x-y+x^2+y^2}{x^2+y^2}>0 \: \)

\(-x-y+x^2+y^2>0 \: \)

\(\left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2>\frac12 \: \)

Окружность с центром в точке (1/2;1/2) и радиусом \( \large R=\frac1{\sqrt2} \: \) при \( \large 0 < x^2+y^2 < 1 \: \) (см. рисунок)

Найдем площадь полученной фигуры:

\(S_{green}=\frac12S_{бол\;окр}-(\frac12S_{мал\;окр}+ \: \)

\((\frac14S_{бол}-S_{прям\;треуг}) \: \) \(=\frac\pi2-(\frac\pi4+(\frac\pi4-\frac12)=\frac12 \: \)

\(S_{red}=\frac12S_{мал\;окр}- \: \) \((\frac14S_{бол}- \: \) \(S_{прям\;треуг})=\frac\pi4- \: \) \((\frac\pi4-\frac12)= \: \) \(\frac12 \: \)

\(S_{полн}=S_{green}+S_{red}=\frac12+\frac12 \: \) \(=1 \: \)

Пусть x- количество конфет в одном пакете, а y- количество мешков.Тогда в первом случае 2xy, а во втором случае-3(x−5)(y−2). Так как было одинаковое количество конфет, то получим уравнение: 2xy=3(x−5)(y−2). Преобразуем: (x−15)(y−6)=60. Т.е множители должны быть натуральными числами и в произведении давать число 60. При переборе должны получить числа 1 и 60, 2 и 30, 3 и 20 и тд. После перебора, получим,что максимальное xy получаем при значениях множителей 1 и 60, то есть x=16, y=66. т.е. получаем общее количество конфет 2xy=2*16*66=2112.

Имеем два случая: 1) \( \large x\geq0 \: \) 2) \( \large x<0 \: \),

1 случай: \( \large x\geq0 \: \). Преобразуем функцию:

\(f(x)=x^3-6x^2+ \: \) \((9+6a-3a^2)x \: \)

Найдем производную функции:

\(f'(x)=3x^2-12x+ \: \) \((9+6a-3a^2) \: \)

\(f'(x)=0 \: \)

\(x^2-4x+3+2a-a^2=0 \: \)

\(D=16-4(3+2a-a^2)= \: \) \(4(a-1)^2 \: \)

\( x_1=3-a \: \), \(x_2=1+a \: \)

Определим знак производной:

1) \( \large 0\lt a\lt 1 \: \); \( \large 1\lt a+1\lt 2 \: \); \( \large 2\lt 3-a \lt 3 \: \)

\(x=a+1 \: \) - точка максимума;

\(fmax=f(a+1)= \: \) \(-2(a+1)(a^2-a-2) \: \)

2) \( \large 1\lt a \lt 2 \: \); \( \large 2 \lt a+1 \lt 3 \: \);\( \large 1\lt3-a\lt2 \: \)

\(x=3-a \: \) - точка максимума

\(fmax=f(3-a)= \: \) \(2(3-a)(6-a) \: \)

3) \( \large 2 \lt a \lt 3 \: \); \( \large 3\lt a+1\lt 4 \: \); \( \large 0 \lt 3-a\lt 1 \: \)

\(x=a+1 \: \) не принадлежит отрезку \(x=3-a \: \)- точка максимума

4) \( \large a>3 \: \)

\(x=a+1, x=3-a \: \), не принадлежат отрезку значений \(x \: \), т.к. т.к. функция убывает, то \(fmax=f(0) \: \)

2 случай: \( \large x\lt 0 \: \). Преобразуем функцию:

\(f(x)=-x^3-6x^2+ \: \) \((-9+6a+3a^2)x \: \)

Найдем производную функции:

\(f'(x)=-3x^2-12x+ \: \) \((-9+6a+3a^2) \: \)

\(f'(x)=0 \: \)

\(x^2+4x+3-2a-a^2=0 \: \)

\(D=16-4(3-2a-a^2)= \: \) \(4(a+1)^2 \: \)

\(x_1=-3-a \: \), \(x_2=-1+a \: \)

Определим знак производной:

1) \( \large -1\lt a\lt 0 \: \);\( \large -3\lt -3-a\lt -2 \: \); \( \large -2\lt a-1\lt -1 \: \)

\(x=a-1 \: \) - точка максимума;

\(fmax=f(a-1)= \: \) \(-2(a-1)(a^2+2a+2) \: \)

2) \( \large -2\lt a\lt -1 \: \); \( \large -3\lt a-1\lt -2 \: \);\( \large -2\lt -3-a\lt -1 \: \)

\(x=-3-a \: \) - точка максимума

\(fmax=f(-3-a)= \: \) \(2a(-3-a)(a+3) \: \)

3) \( \large -3 \lt a\lt -2 \: \); \( \large -4\lt a1\lt -3 \: \);

\(x=-3-a \: \) точка максимума

\(fmax=f(-3-a)= \: \) \(2a(-3-a)(a+3) \: \)

4) \( \large a\lt -3 \: \); \( \large a-10 \: \)

т.к. функция убывает, то \( \large fmax=f(-3)=-9a^2-18a \: \)

Ответ:

при \( \large a\le -3 \: \), \( \large f_{max}=–9a^2–18a \: \);

при \( \large -3\lt a\le-1 \: \), \( \large f_{max}=-2a(a+3)^2 \: \);

при \( \large -1\lt a\le 0, \: \) \( \large f_{max}=2\cdot (a–1) \cdot (a^2+2a+2) \: \);

при \( \large 0\lt a\le1 \: \), \( \large f_{max}=(a+1) \cdot (–2a^2+2a+4)) \: \);

при \( \large 1\lt a\le 3 \: \), \( \large f_{max}=2\cdot (3–a) \cdot (6–a) \: \);

при \( \large a\gt 3 \: \), \( \large f_{max}=0 \: \).

Существует несколько исходов игры, которые гарантируют победу первому участнику,это (вне зависимости от последовательности ящиков): 1 0 0,N 1 1,N 1 0, N 0 0 , где N- любое натуральное число,и гарантированное проигрышные ситуации-1 1 0, 2 2 0. Исходя из этого будет идти решение задачи.

А) Чтобы выиграл Чук, нам необходимо привести Гека к варианту 110. Если Чук возьмет 8 шаров из первого ящика, то есть сравняет количество шаров только во втором и третьем, тогда Чуку остается каждый раз уравнивать количество шаров до того момента,пока не станет вариант 1 1 0. т.е. выиграет Чук

Б) Исходя из базовых ситуаций найдем ситуации выигрыша: M 2 0 (M>=3), 2 2 1,3 2 0 (их можно привести к ситуации проигрыша , то есть к 2 2 0). Ситуацию 1 2 3 возможно привести только к выигрышу,следовательно ,она проигрышна для первого, т.е. выиграет Гек.

В) В таком варианте Чук сможет выиграть, если будет сравнивать две цифры каждый раз, в конце дойдет до варианта 011 и победит. Это возможно в любом случае